REGOLA DI RUFFINI

Dovendosi dividere un polinomio nella variabile x, per un binomio del tipo x+a ( cioè un binomio di primo grado nella stessa variabile x, con coefficiente della variabile 1) risulta più agevole servirsi di una regola più veloce, nota come Regola di Ruffini. 

Si voglia, ad esempio, dividere il polinomio ordinato per il binomio . Come già detto nella divisione dei polinomi, dovremo trovare il quoziente , che sarà un polinomio (trinomio) di secondo grado (grado del dividendo meno grado del divisore) e il resto, che dovendo essere di grado più basso del divisore, sarà un monomio di grado zero (numero reale).

Siano, quindi  e  , rispettivamente il quoziente ordinato e il resto, come già visto in divisione dei polinomi , dovrà aversi:

  = +r. Sviluppando i calcoli del secondo membro si ha:

= +r , sommando i termini simili nella variabile x otteniamo:

  = uguagliando i coefficienti dei termini dello stesso grado (vedi Principio di Identità dei Polinomi), si ottengono le uguaglianze:

Infine dalle uguaglianze appena scritte si ottengono le formule che, in modo ricorsivo, permettono di determinare i coefficienti del quoziente:

  ;  ;  ; 

Le formule trovate vanno generalizzate e lette nel seguente modo: “Il quoziente della divisione tra un polinomio in una variabile di grado n e un binomio di primo grado, nella stessa variabile del dividendo, con coefficiente principale 1, è uguale ad un polinomio di grado n-1, il cui  coefficiente principale è lo stesso del dividendo, mentre gli altri coefficienti e il resto si trovano, nell’ordine, sommando algebricamente ogni coefficiente del dividendo con il prodotto fra il precedente coefficiente del quoziente per l’opposto del termine noto del divisore.

Si voglia ad esempio eseguire , applicando le formule trovate si ha: ; ; ; , da cui otteniamo:

 ;  .

La regola precedente può apparire difficoltosa da ricordare, pertanto i calcoli appena fatti, di solito, si impostano secondo il seguente schema

 

 

-3

+1

+12

-3

-2

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

Si dispongono ordinati i coefficienti del dividendo, mentre l’opposto del termine noto del divisore, cioè –2, va messo a sinistra della tabella sopra la riga orizzontale. Si abbassa il primo coefficiente al di sotto di tale riga ottenendo .

                                                                                  

 

                              

 

-3

+1

+12

-3

-2

 

+6

 

 

 

-3

+7

 

 

Il numero abbassato si moltiplica per –2, il risultato, cioè +6, si incolonna e si somma  col coefficiente successivo, praticamente si esegue per  ottenere  

   

 

 

-3

+1

+12

-3

-2

 

+6

-14

 

 

-3

+7

-2

 

Si procede come al punto precedente per ottenere (stavolta si moltiplica +7 per –2 e il prodotto si incolonna e si somma col coefficiente successivo)

   

   

                        

 

-3

+1

+12

-3

-2

 

+6

-14

4

 

-3

+7

-2

1

Anche in questo passo si opera come negli altri

 

   

I tre numeri posti al di sotto della riga orizzontale e compresi tra quelle verticali, sono i coefficienti del quoziente, mentre quello posto alla destra della seconda riga verticale è il resto. Cioè

  r=1

                            

Eseguiamo un’altra divisione con la regola di Ruffini:

   

   

 

1

0

-12

-3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Disponiamo, come nell’esempio precedente, i coefficienti del dividendo e l’opposto del termine noto del divisore, avendo cura di mettere uno 0 per il termine mancante. Procediamo, quindi, nel modo già visto abbassando il primo coefficiente.

 

                             

 

1

0

-12

-3

 

-3

 

 

 

 

1

 

 

 

Il primo coefficiente del quoziente viene moltiplicato per –3 (che ripetiamo è l’opposto del termine noto del divisore) e il risultato viene incolonnato e sommato con  ottenendo

 

                                

                               

 

1

0

-12

-3

 

-3

 

 

 

1

 

 

  Ripetiamo il passo precedente

 

 

 

 

                                    

 

1

0

-12

-3

 

-3

 

 

1

-4

 

  Anche in questo passo si procede come nei precedenti

 

 

 

 

 

                             

 

1

0

-12

-3

 

-3

12

 

1

-4

0

Ripetiamo un'ultima volta i passi precedenti.

I primi quattro numeri sono, nell’ordine, i coefficienti del quoziente, l’ultimo è il resto. Quindi si ha:

  r=0

   Per altri esempi vedi esercizi svolti