4.4 Particelle senza massa

In base alla teoria dell'espansione delle masse, anche le espressioni della quantità di moto p e dell' energia totale E_tot risultano modificate. D'ora in poi si seguirà la consuetudine di porre  ; estendendo inoltre la definizione classica  p = m v mediante la (4.1), si ha:

  (4.3)

La (4.3) può essere verificata sperimentalmente: basta misurare la quantità di moto di una particella accelerata in un sincrotrone. Ed ecco i risultati sperimentali ottenuti da W.Kauffman nel 1901 (cerchietti bianchi), da A.Bucherer nel 1909 (cerchietti neri) e da C.Guye e C.Lavanchy nel 1915 (le crocette). La figura è tratta da un'edizione d'epoca di Scientific American:

Si noti come il grafico soprastante sia sostanzialmente identico a quello del paragrafo 4.2, giacché entrambi, in buona sostanza, rappresentano il rapporto  in funzione di v/c !

In effetti, soltanto per velocità molto grandi si verifica una notevole differenza della quantità di moto della particella rispetto al valore m₀ v previsto dalla meccanica newtoniana: se v = c / 2, si ha solo p / m₀ v = 1,15, cioè l'aumento relativistico della quantità di moto è appena del 15 %. Per piccole velocità (v << c) si può ritenere  , e la (4.3) coincide con l'espressione classica della quantità di moto. Questo dimostra che la Fisica Classica non è tutta da buttar via, ma rappresenta un'approssimazione della Fisica Relativistica, valida a basse velocità.

Quanto poi all'energia, si dimostra che si può scrivere:

  (4.4)

la dimostrazione richiede il calcolo integrale, e verrà trattata nell'Approfondimento 2. La (4.4) ci dice che, per v = 0, l'energia non è zero, come risulterebbe dall'espressione classica dell'energia cinetica, bensì m₀ c², cioè l'energia a riposo del corpo. Al crescere di v il denominatore tende a zero, per cui l'energia cresce indefinitamente, e ciò giustifica il nome di dinamica delle alte energie che viene solitamente dato all'argomento dell'unità 4. Si noti che, nel modello newtoniano, a velocità c una particella avrebbe un'energia cinetica finita m₀ c²/2, mentre nel modello einsteiniano a velocità c l'energia diventa infinita, sulla scorta della dilatazione della massa. E ciò non fa altro che confermare l'illusorietà della speranza dell'Enterprise di capitan Kirk di raggiungere o addirittura superare la velocità della luce.

Dalla (4.3) si può ricavare v² :

che, sostituita nella (4.4), dopo varie semplificazioni algebriche fornisce:

Essa permette di trovare l'energia totale in funzione della massa a riposo m₀ e della quantità di moto Q della particella. Se in particolare m₀ = 0 si ha: 

quindi, un'ipotetica particella senza massa può ancora avere una certa quantità di moto, contrariamente a quanto sostiene la Fisica Classica! Ma esistono particelle senza massa?

Certamente. É il caso del fotone, il "quanto" che trasporta l'energia delle onde elettromagnetiche, anch'esso previsto da Einstein nei suoi lavori sull'effetto fotoelettrico (1905). Secondo Einstein, esso é totalmente privo di massa a riposo, ma gli si deve associare un'energia pari a:

E  =  h f   (4.6)

dove f é la frequenza dell'onda elettromagnetica ed h la costante di Planck:

h = 6.67 * 10^–34 J s

Perciò, nonostante esso sia totalmente privo di massa a riposo (nel senso che non può neppure aver senso parlare di un fotone "a riposo"), ad esso si associa anche una quantità di moto:

e quindi una massa dinamica:

  (4.7)

Di altre particelle si suppone abbiano massa nulla. Vi é per esempio il gravitone, non ancora osservato, ma previsto dalle teorie dei campi come presunto mediatore del campo gravitazionale. Ci sono i neutrini, di cui si discute da decenni se abbiano massa nulla o non nulla. E lo zoo delle particelle a massa zero non finisce certo qui.

Chiudiamo con un'ultima osservazione. Se la luce è "fatta" di fotoni, si presuppone che essi possano viaggiare alla velocità della luce. Anzi, siccome è impossibile far « rallentare » la luce in base ai postulati di Einstein, è evidente che i fotoni possano viaggiare solo alla velocità della luce. Questo non è in contrasto con la nostra affermazione circa l'irraggiungibilità della velocità della luce? No, proprio perché il fotone ha massa a riposo nulla. Solo per una particella dotata di massa a riposo vige il divieto di uguagliare c, giacché altrimenti la (4.4) richiederebbe un'energia infinita per riuscirci. Per questo le particelle in natura si possono distinguere in due famiglie:

·      di massa a riposo nulla, che si possono muovere solo alla velocità della luce;

·      di massa a riposo non nulla (bradioni), che possono avvicinarsi a c senza mai raggiungerla.

Secondo alcuni esistono anche delle particelle (tachioni) che possono muoversi solo a velocità superiore a quella della luce, senza mai rallentare al di sotto di essa. Ciò è mai possibile? Sì, ma solo se esse hanno massa a riposo immaginaria (il che vuol dire che NON esistono a riposo). Nessuno però è mai riuscito finora ad identificarle: gli studenti di Fisica sappiano che c'è un Nobel che li aspetta, casomai un giorno fossero proprio loro a riuscirci!

Purtroppo la mitica Enterprise di Kirk e Spock è destinata a rimanere per sempre confinata nelle serie TV.

E con questo il "grosso" delle formule di questo Modulo può dirsi esaurita, a meno che non abbiate deciso di dedicarvi subito ai complessi calcoli dell'Approfondimento 2. In caso contrario, vi consiglio di "giocare" con il "videogame" che ho integrato in questo corso con il permesso del suo autore, Domenico de Riso: è un perfetto simulatore relativistico (o Macchina del Tempo, se preferite, come lo ha chiamato il suo creatore). Se non ne avete voglia, potete leggere il brano di Paul Davies (lettura 4) dedicata al rapporto tra tempo ed antimateria, o passare direttamente agli esercizi, prima di aver risolto i quali non è consigliabile approdare all'Unità 5. Lì chiuderemo "in bellezza" inoltrandoci nei meandri dello spazio-tempo.