Le unità di misura di Planck  

Qualcuno potrebbe pensare che, se i fenomeni della natura fossero davvero soggetti alla gravità quantistica, sicuramente i suoi insoliti effetti dovrebbero essere già stati rilevati. Così invece non è perché, come tutti gli incredibili effetti della Relatività Ristretta (contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi, la relatività della simultaneità, eccetera) si manifestano solo a velocità prossima a quella della luce, che per noi è pressoché irraggiungibile, così tutti gli effetti di natura quantistica della gravitazione sono confinati in una scala di lunghezze e di tempi straordinariamente piccola. Ma piccola quanto?

Max Planck (23 aprile 1858 – 4 ottobre 1947) con Albert Einstein nel 1931

Max Planck (23 aprile 1858 – 4 ottobre 1947) con Albert Einstein nel 1931

Proponiamoci di cercare un sistema di "unità naturali", basati sulle tre principali grandezze fisiche, e cioè la costante di gravitazione universale G, bastione della Fisica Classica; la velocità della luce c, simbolo della Relatività Ristretta; ed ovviamente la costante di Planck h, o meglio la costante h tagliata pari ad h/2π, caratteristica della Meccanica Quantistica. Come determinare una "unità naturale di lunghezza"? Fissiamoci sulle dimensioni fisiche di queste costanti. La costante di gravitazione G si misura in Newton per metro quadro su kilogrammo al quadrato, quindi:

[ G ] = [ N m2 / Kg2 ] = [ m3 Kg–1 s–2 ]

c è una velocità, per cui [ c ] = [ m s–1 ]. Quanto poi alla costante di Planck:

[ h ] = [ E / f ] = [ J / Hz ] = [ m2 Kg s–1 ]

Se vogliamo combinare queste tre grandezze in modo da ottenere una lunghezza, dovremo moltiplicarle dopo averle elevate ad opportuni esponenti:

          (1)

E quindi, per le equazioni dimensionali sopra scritte:

Da cui:

Se ne deduce che deve essere:

Risolvendo il sistema si ottiene facilmente α = 1/2, β = – 3/2, γ = 1/2. Ne consegue che la nostra equazione dimensionale (1) assume la forma:

Chiameremo questa lunghezza fondamentale con il nome di lunghezza di Planck lP. La precedente ci dice che la sua espressione è:

          (2)

ed essa vale lP = 1,616252 x 10–35 m. Analogamente si può introdurre una massa di Planck mP ed un tempo di Planck tP, partendo dalle equazioni dimensionali:

Le espressioni che si ottengono con calcoli analoghi a quelli ora svolti sono le seguenti:

          (3)

          (4)

che valgono rispettivamente mP = 2,17644 x 10–8 kg e tP = 5,39124 × 10–44 s.

Se si esprimono i parametri fondamentali dell'universo in unità di Planck, saltano agli occhi alcune sorprese. Ad esempio, il numero 1061 esprime sia l'età dell'universo, sia la Costante di Hubble, sia la radice quadrata della Costante Cosmologica in unità tP, ma anche il diametro dell'universo in unità lP e la sua massa in unità mP. Inoltre già Arthur Eddington aveva fatto notare che 1040 rappresenta ad un tempo il rapporto tra il raggio dell'universo e quello dell'elettrone, tra la forza elettrostatica e quella gravitazionale agente tra un elettrone e un protone, e la radice quadrata del numero di atomi dell'universo. Il reale significato di queste coincidenze numerologiche però ci sfugge, e forse ci sfuggirà per sempre.

Si potrebbero introdurre anche una temperatura di Planck e una carica elettrica di Planck, ma in tal caso bisogna introdurre nei calcoli altre due costanti fondamentali: la costante di Boltzmann KB e la costante dielettrica del vuoto ε0. Limitiamoci alle tre espresse dalle (2), (3) e (4), dette unità di Planck: esse danno vita a un sistema assoluto di unità di misura. Come si verifica immediatamente, le unità di Planck sono completamente estranee alla fisica di ogni giorno: l'unità di lunghezza lP è dell'ordine dei 10–33 centimetri, e quindi è di 21 ordini di grandezza inferiore al diametro di un nucleo atomico; in altre parole, essa sta alle dimensioni nucleari come le dimensioni dell'uomo stanno a quelle della nostra galassia!

Ma allora, come possono esserci utili unità del genere? È presto spiegato. In meccanica quantistica si definisce lunghezza d'onda Compton di una particella la lunghezza d'onda di un fotone la cui energia è pari a quella della massa a riposo della particella. Usando il formalismo matematico, dovrà essere:

da cui si ricava che la lunghezza d'onda Compton vale:

          (5)

Si può assegnare un limite inferiore alla lunghezza d'onda Compton (cioè un limite superiore all'energia di un fotone) se si impone un limite superiore alla massa m della particella. Possiamo pensare ad un limite superiore della massa di una particella quando questa raggiunge le dimensioni di un buco nero, all'interno del quale un fotone resta confinato dal campo gravitazionale. Ora, nel nostro ipertesto dedicato ai buchi neri abbiamo spiegato che, a meno del fattore 2, il raggio di Schwarzschild di un buco nero di massa m è:

Ricaviamo m da quest'ultima dopo aver posto Rλ e sostituiamola nella (5). Si trova facilmente:

          (6)

La (6) coincide con la (2) a meno del fattore 2π nella costante di Planck ridotta. Risostituendo tale valore nella (5) si ottiene proprio l'espressione (3), sempre a meno del fattore 2π. Dunque la lunghezza di Planck è la misura del raggio dell'orizzonte degli eventi di una massa di Planck collassata in un buco nero! In altre parole, ogni fotone avente una lunghezza d'onda pari alla lunghezza di Planck può materializzarsi in una particella abbastanza massiccia da diventare un buco nero (detto "buco nero di Planck"), tale da distorcere lo spazio-tempo fino al punto di inghiottire quel fotone. Non possono quindi esistere lunghezze d'onda più piccole di così, perchè altrimenti la particella ottenuta dalla materializzazione del fotone non potrebbe nemmeno sussistere, essendo confinata per sempre all'interno del buco nero in cui essa è collassata! Grazie alla gravità quantistica abbiamo così trovato un limite inferiore per le lunghezze. Questo si traduce ovviamente in un limite inferiore per i tempi, non appena si osserva che la (2) e la (4) sono legate tra di loro da questa semplice relazione:

Il tempo di Planck è dunque quello impiegato dalla luce per coprire una lunghezza di Planck; non esistendo nulla che possa andare più veloce della luce, non ha senso pensare a tempi più brevi di tP.

Se non si può ragionare di distanze e tempo inferiori a quelli della scala di Planck, appare evidente che i concetti stessi di spazio e di tempo perdono di significato a quegli ordini di grandezza, e questo è considerato un indizio del fatto che la Meccanica Quantistica e la Relatività Generale non valgono più separatamente; a distanze paragonabili alla lunghezza di Planck quindi la gravità manifesta degli effetti quantistici. Ci conferma però l'impossibilità di accedere sperimentalmente a queste distanze non solo la loro estrema piccolezza, ma anche un'altra considerazione, legata alla cosiddetta energia di Planck EP. Essa rappresenta l'energia equivalente alla massa di Planck secondo la famosa equazione di Einstein EP = mP c2. Si ottiene facilmente:

Di qui si ricavano i 1019 GigaelettronVolt citati quando abbiamo parlato della grande unificazione delle forze, indicandoli come l'energia alla quale avviene l'accoppiamento della gravità alle altre tre forze della natura. Come già accennato, però, per verificare sperimentalmente cosa accade a queste energie sarebbe necessario un acceleratore di particelle delle dimensioni della nostra Galassia!